Berechnung medialer Kurven

Oliver Sniehotta, Leibniz Universität Hannover, Studienarbeit
11/1996

Betrachtet man zwei differenzierbare, reguläre Kurven alpha(t) und beta(t) in der Euklidischen Ebene, so kann man nach der Menge aller Punkte fragen, die zu beiden Randkurven den gleichen Abstand besitzen. Diese Menge kann wieder als parametrisierte Kurve - die Mediale Kurve - mu(t) beschrieben werden. Der Abstand von der Randkurve wird im Euklidischen Fall als der Euklidische Abstand in Richtung der Kurvennormalen gemessen, d.h. orthogonal zur Kurventangente. Die gleiche Fragestellung kann man ebenfalls auf beliebigen Flächen S untersuchen, insbesondere auf der Klasse der parametrisierten regulären Flächen. Hierbei ist die Fläche S durch eine differenzierbare Abbildung r : D subset R^2 rightarrow R^3 über einem bestimmten Parameterbereich D gegeben. Die betrachteten Randkurven sind nun Flächenkurven alpha(t) = r(u(t), v(t)), die durch Kurven (u(t), v(t)) subset D (für beta(t) entsprechend) im Parameterraum beschrieben werden. Im Gegensatz zum Euklidischen Fall werden im Flächenfall Abstände als Längen geodätischer Kurvensegmente gemessen. Geodätische Kurven sind lokal kürzeste Linien auf der gegebenen Fläche. Ihre Bogenlängen sind daher geeignet, den Abstand im Hinblick auf die Flächengeometrie zu messen. Man spricht hier auch von geodätischem Abstand. Will man mit diesem Abstandsbegriff im Flächenfall Mediale Kurven berechnen, so muß man geodätische Abstände berechnen können. Dazu wird zunächst die geodätische Offsetfunktion O(s,t) eingeführt. Die Berechnung der partiellen Ableitungen der Offsetfunktion wird auf die Jacobi-Differentialgleichung führen. Damit wird die Mediale Differentialgleichung und ihre Lösung hergeleitet. Daran schließt sich die Beschreibung des im Rahmen dieser Studienarbeit entwickelten Programms tt geo an.

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