Der Abbildungsgrad und seine Anwendung zur Bestimmung von Extremwerten

Axel Howind, Leibniz Universität Hannover, Studienarbeit
01/1997

Zur Bestimmung der Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher kann das Gradientenfeld der Funktion untersucht werden. Die Extremwerte der Funktion entsprechen singulären Punkten des Gradientenfeldes. Zur Lokalisierung dieser Singularitäten können iterative Verfahren, wie zum Beispiel das Newton-Verfahren eingesetzt werden. Dabei müssen Startwerte für alle zu bestimmenden singulären Punkte des Gradientenfeldes bekannt sein. Mit Hilfe des Abbildungsgrades ist es möglich, Aussagen über die Anzahl der in einem Gebiet des Parameterraumes eines Vektorfeldes liegenden singulären Punkte zu machen. Es wird ein Verfahren angegeben, mit dem für zwei- und dreidimensionale Vektorfelder die Anzahl der singulären Punkte in Gebieten des Parameterraums berechnet werden kann. Dieses Verfahren wurde für zwei- und dreidimensionale Vektorfelder in der Programmiersprache C++ implementiert. Da die genaue Berechnung des Abbildungsgrades sehr aufwendig ist, wurden verschiedene Heuristiken untersucht, mit denen für zweidimensionale Vektorfelder auf die Existenz von singulären Punkten geschlossen werden kann. Es wurde ein Verfahren implementiert, daß mit Hilfe der untersuchten Heuristiken Approximationen für die singulären Punkte eines zweidimensionalen Vektorfeldes berechnet.

Kontakt: Franz-Erich Wolter