Mediale Polarkoordinaten

Hannes Thielhelm, Leibniz Universität Hannover, Studienarbeit
08/2005

Diese Studienarbeit beschäftigt sich mit der Darstellung von ebenen Gebieten durch die von Blum 1967 eingeführte Mediale Achse. Dabei wird ein zweidimensionales ebenes Gebiet durch die Mittelpunkte der größten Innenkreise und die zugehörigen Radien beschrieben.

Die so gewonnene skelettartige eindimensionale Struktur enthält alle Informationen, die nötig sind, um das Gebiet vollständig zu rekonstruieren. Zusätzlich werden topolgische Informationen des Gebietes auf die mediale Achse übertragen, z.B. läßt sich zeigen, dass die Mediale Achse eines Gebietes mit stetigem und stückweise stetig differenzierbarem Rand selbst stetig ist.

Durch die starke Symmetrie eines Kreises, der die Verbindung zwischen der medialen Achse und dem Rand des Gebietes darstellt, werden Symmetrien des Gebietes quasi in die mediale Achse komprimiert. Diese Symmetrien lassen sich beispielsweise bei der Berechnung des Flächeninhalts des Gebietes ausnutzen. Gibt man eine Parametrisierung des Randes vor, so erhält man in natürlicher Weise eine Parametrisierung der medialen Achse und der zugehörigen Radien.

Führt man einen zusätzlichen Parameter ein, der das Verbindungsstück eines Randpunktes zur medialen Achse parametrisiert, so erhält man eine Parametrisierung des Gebietes in den sogenannten medialen Polarkoordinaten. Die Eigenschaften dieser Koordinaten und ihre Eignung zur Flächenberechnung sind Gegenstand der Arbeit. Zusätzlich wurde ein Programm entwickelt, das ein durch eine mediale Achse und Radiusfunktion gegebenes Gebiet darstellt und gebenenfalls die Fläche approximiert bzw. berechnet.

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