Computation of Medial Sets in Riemannian Manifolds

Henning Naß, Dissertation, Leibniz Universität Hannover, 2007.

Mediale Mengen bestehen aus Punkten, die zu zwei vorgegebenen Referenzmengen den gleichen Abstand besitzen. Da Voronoi-Diagramme aus Medialen Mengen bezüglich jeweils zwei gegebener Punkte zusammengesetzt sind, sind Mediale Mengen auch für die Berechnung von Voronoi-Diagrammen wichtig.

In dieser Dissertation werden erstmalig geodätische Voronoi-Diagramme in 3-dimensionalen Riemannschen Räumen berechnet. Im Zusammenhang damit werden Berechnungsverfahren für geodätische Verbindungswege zweier gegebener Punkte in solchen Räumen vorgestellt und diskutiert. Desweiteren wird ein echtzeitfähiges Modelliersystem vorgestellt, mit dem in Riemannschen Räumen in intuitiver Weise 3-d-Körper modelliert werden können, zu denen hier (prinzipiell) natürliche Vermeshungen gehören, die zum Lösen partieller Differentialgleichungen verwendet werden können.

Mehrdimensionale Riemannsche Räume kann man sich als Verallgemeinerungen gekrümmter Flächen im Euklidischen Raum vorstellen. Sie bilden die Grundlage für kosmologische Modelle der Physik und auch für Zustandsräume mechanischer und elektrischer Systeme. Berechnende Geometrie und geometrisches Modellieren in Euklidischen Räumen haben in den letzten 25 Jahren eine gewisse Reife erlangt. Dagegen ist in Riemannschen Räumen mit der Dimension größer als zwei die konkrete numerische Berechnung elementarer geometrischer Objekte wie Voronoi Diagramme ein schwieriges Forschungsproblem.

In der Dissertation werden zur Berechnung elementarer geometrischer Objekte in Riemannschen Räumen grundlegende Verfahren mit Berechnungsbeispielen eingeführt. Damit werden in Pionierarbeit Wege für neue Forschungen zu einer numerisch berechnenden Geometrie in Riemannschen Räumen gewiesen.