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A method for characterization of objects has the steps of: a) describing an object with an elliptical self-adjoint eigenvalue problem in order to form an isometrically invariant model; b) determining eigenvalues of the eigenvalue problem; and c) characterizing the object by the eigenvalues.

In dieser Arbeit wird ein Verfahren eingeführt, einen numerischen Fingerabdruck bzw. eine Signatur (die "Shape-DNA") einer beliebigen 2d- oder 3d-Mannigfaltigkeit (Fläche oder Körper) zu berechnen. Hierzu werden die Eigenwerte bzw. das Spektrum des zugehörigen Laplace-Beltrami-Operators ermittelt. Es ist ein neuer Ansatz, dieser Laplace-Beltrami-Spektren als Fingerabdrücke von Flächen und Körpern zu nutzen.

In dieser Arbeit wird eine Methode entwickelt, um große Sammlungen von Bildern, vorliegend als aus Pixeln bestehende Grauwert- oder Farbbilder, zu organisieren. Zu diesem Zweck wird jedem Bild ein weitgehend eindeutiger Fingerabdruck, eine Sequenz von Fließkommazahlen, zugeordnet. Diese Sequenz wird aus den Eigenwerten eines zum Bild passenden Laplace-Operators gewonnen, wobei sich Variationen dieser Methode durch die Wahl der Repräsentation des Bildes (als Graph der Höhenfunktion beziehungsweise als Massendichtefunktion) und des Operators (Laplace-Beltrami- beziehungsweise Kirchhoff-Operator) ergeben. Es wird gezeigt, dass die so gewonnenen Fingerabdrücke aufgrund ihrer Herkunft von isometrieinvarianten Operatoren nützliche Eigenschaften für die Erkennung von Bildern haben. Es wird demonstriert, in welchen Situationen dieses Verfahren gut funktioniert, und wann sich jeweils Probleme durch isometrische oder isospektrale Repräsentationen ergeben können.

This paper introduces a method to extract "Shape-DNA", a numerical fingerprint or signature, of any 2d or 3d manifold (surface or solid) by taking the eigenvalues (i.e. the spectrum) of its Laplace-Beltrami operator. Employing the Laplace-Beltrami spectra (not the spectra of the mesh Laplacian) as fingerprints of surfaces and solids is a novel approach. Since the spectrum is an isometry invariant it is independent of the object's representation including parametrization and spatial position. Additionally the eigenvalues can be normalized, so that uniform scaling factors for the geometric objects can be obtained easily. Therefore, checking if two objects are isometric needs no prior alignment (registration/localization) of the objects but only a comparison of their spectra. In this paper we describe the computation of the spectra and their comparison for objects represented by NURBS or other parametrized surfaces (possibly glued to each other), polygonal meshes as well as solid polyhedra. Exploiting the isometry invariance of the Laplace-Beltrami operator, we succeed in computing eigenvalues for smoothly bounded objects without discretization errors caused by approximation of the boundary. Furthermore, we present two non-isometric but isospectral solids that cannot be distinguished by the spectra of their bodies and present evidence that the spectra of their boundary shells can tell them apart. Moreover, we show the rapid convergence of the heat trace series and demonstrate that it is computationally feasible to extract geometrical data such as the volume, the boundary length and even the Euler characteristic from the numerically calculated eigenvalues. This fact not only confirms the accuracy of our computed eigenvalues, but also underlines the geometrical importance of the spectrum. With the help of this "Shape-DNA" it is possible to support copyright protection, database retrieval and quality assessment of digital data representing surfaces and solids.