Zahlentypen - 1

• Natürliche Zahlen $(\mathbb N)$: $\lbrace 0, 1, 2, 3, 4, \ldots \rbrace$
  Alle Zahlen, die zum Abzählen verwendet werden
• Ganze Zahlen $(\mathbb Z)$: $\lbrace \ldots , -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \rbrace$
  Natürliche Zahlen und negative dazu
• Rationale Zahlen $(\mathbb Q)$: $\lbrace \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1},\frac{0}{1}=0,\ldots\rbrace$
  Alle Brüche
• Reelle Zahlen $(\mathbb R)$: $\lbrace 0.01,\pi,-0.\overline{96},0.987,\ldots \rbrace$
  Menge aller Zahlen auf der Zahlengrade

Rechenregeln

1. $a + (b + c) = (a + b) + c\Rightarrow$Assoziativgesetz Addition
2. $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\Rightarrow$ Assoziativgesetz Multiplikation
3. $a + b = b + a\Rightarrow$ Kommutativgesetz Addition
4. $a \cdot b = b \cdot a\Rightarrow$ Kommutativgesetz Multiplikation
5. $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\Rightarrow$ Distributivgesetz
6. $(a \cdot b) + c = a \cdot b + c$ Punkt-  vor Strichrechnung

Beispiele - Assoziativgesetz

• $4 + (7 + 10) = (4 + 7) + 10 = 21$
• $(8 + 7) + 18 = 8 + (7 + 18) = 23$
• $(3 \cdot 5) \cdot 4 = 3 \cdot (5 \cdot 4) = 60$
• $(2 \cdot 4) \cdot 6 = 2 \cdot (4 \cdot 6) = 48$
• Daher können hier Klammern weggelassen werden!

Beispiele - Kommutativgesetz

• $10 + 15 = 15 + 10 = 25$
• $17 + 19 = 19 + 17 = 36$
• $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3 = 15$
• $4 \cdot 6 = 6 \cdot 4 = 24$

Beispiele - Distributivgesetz

• $2 \cdot (5 + 6) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 6 = 22$
• $(10 + 20) \cdot 3 = 10 \cdot 3 + 20 \cdot 3 = 90$
• Aber: $3 + (4 \cdot 5) = 3 + 4 \cdot 5 = 23$

Potenzen

Im folgenden verwenden wir als Notation:
$\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n\mathrm{-mal}}=a^n$
Beispiele:

• $3\cdot 3 = 3^2 = 9$
• $4\cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$

Binomische Formeln

1. $(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$
2. $(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$
3. $(a + b)\cdot(a - b) = a^2 - b^2$

Beispiele - Binomische Formeln

• $(2 + 3)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25$
• $(3 - 2)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2^2 = 9 - 12 + 4 = 1$
• $(2 + 1)\cdot(2 - 1) = 2^2 + 1^2 = 3$

Brüche

Folgende Notationen für Division sind äquivalent:
$a \div b = a : b = a / b = \frac{a}{b} = a \cdot b^{-1}$
Beispiele:

• $6 \div 3 = 6 : 3 = 6 / 3 = \frac{6}{3} = 6 \cdot 3^{-1} = 2$
• $15 \div 5 = 15 : 5 = 15 / 5 = \frac{15}{5} = 15 \cdot 5^{-1} = 3$

Rechenregeln für Brüche

1. $\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}\Rightarrow$ Ausklammern
2. $\frac{a \cdot b}{a \cdot c} = \frac{b}{c}\Rightarrow$ Kürzen
3. $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}\Rightarrow$ Brüche addieren
4. $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}\Rightarrow$ Brüche subtrahieren
5. $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\Rightarrow$ Brüche multiplizieren
6. $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\Rightarrow$ Brüche dividieren

Beispiele - Brüche

• $\frac{6}{5} = 3 \cdot \frac{2}{5}$
• $\frac{5}{10} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{2}$
• $\frac{2}{5}+\frac{3}{7}=\frac{14}{35}+\frac{15}{35}=\frac{29}{35}$
• $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}$
• $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4}=\frac{3}{8}$
• $\frac{3}{4}\div\frac{5}{6}=\frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5}=\frac{18}{20}$

Wurzel

Zahl mit dem gleichen Vorzeichen, so dass:
$\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n = a$
für $n$ gerade ist die Wurzel von $a < 0$ nicht definiert!

Rechenregeln Wurzeln und Potenzen

Beispiele - Wurzeln und Potenzen

• $\sqrt[3]{-8} = -8^{\frac{1}{3}} = -2$
• $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
• $\frac{2}{5}+\frac{3}{7}=\frac{14}{35}+\frac{15}{35}=\frac{29}{35}$
• $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}$
• $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4}=\frac{3}{8}$
• $\frac{3}{4}\div\frac{5}{6}=\frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5}=\frac{18}{20}$

Logarithmen

Der Logarithmus ist wie folgt definiert:
$\log_b(a)=c \Leftrightarrow b^c=a$ wobei $a > 0$
Logarithmen zu einigen Basen (der Zahl b) sind häufiger anzutreffen. Sie werden wie folgt bezeichnet:

• Zur Basis $2$: ld
• Zur Basis der eulerschen Zahl $e$: $\ln$
• Zur Basis 10: $\lg$

Rechenregeln

• $\log_b(b) = 1$
• $\log_b(a\cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c)$
• $\log_b(a\div c) = \log_b(a) - \log_b(c)$
• $\log_b(a^c) = c\cdot \log_b(a)$
• $\log_b(a)=\frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$

Polynom-Division

Quelle: Wikipedia

Gleichungen

Gleichungen mit $n$ Unbekannten können in der folgenden Form dargestellt werden:
$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$ mit einer Funktion $f(a,b,c,d,\ldots)$. Wobei $x_1,x_2,\ldots,x_n$ die Unbekannten genannt werden. Die Lösungsmenge besteht aus allen Vektoren $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, die diese Gleichungen erfüllen.

Gradengleichungen

Die allgemeine Gradengleichung lautet: $$y=f(x)=m\cdot x+b,$$ wobei $m$ die Steigung bestimmt, und $b$ die Verschiebung der Grade.

Reelle Funktionen

Eine reelle Funktion wird wie folgt beschrieben:

• $f:X\rightarrow Y, x \mapsto y, x \in X, y \in Y, X\subseteq \mathbb R, Y \subseteq \mathbb R$
• Polstelle an der Stelle $x_0$: Der Wert der Funktion geht gegen unendlich wenn $x$ gegen $x_0$ geht
• Asymptote: Funktionswert geht gegen eine Grade für $x$ gegen $x_a$ wobei $x_a \in \mathbb R \cup \pm \infty$

Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion hat die folgende Gestalt:
$$\exp(x)=e^x$$
Hierbei heißt $x$ der Exponent. Für $e^x$ gelten die Rechenregeln für Potenzen.

Trigonometrische Funktionen

• $\sin \alpha = \frac{a}{c},\ \cos \alpha = \frac{b}{c},\ \tan \alpha = \frac{a}{b}$
• $\sin \beta = \frac{b}{c},\ \cos \beta = \frac{a}{c},\ \tan \beta = \frac{b}{a}$

Trigonomische Funktionen im rechtwinkeligen Dreieck; Quelle: Wikipedia

Additionstheoreme

• $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$
• $\sin(x\pm y) = \sin x \cdot \cos y \pm \cos x \cdot \sin y$
• $\cos(x\pm y) = \cos x \cdot \cos y \pm \sin x \cdot \sin y$
• $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
• $\sin(2\cdot x) = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x$
• $\cos(2\cdot x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Differenzieren(Ableiten)

Idee: finde in jedem Punkt einer Funktion die Steigung. Übliche Notationen: $$f'(x)=\frac{\partial}{\partial x}f(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f(x)=f_x(x)=\dot f(x)$$

Regeln - 1

• Liniearität der Ableitung:
  $\frac{\partial}{\partial x}(f(x) + \lambda \cdot g(x))=\frac{\partial}{\partial x}f(x) + \lambda \cdot \frac{\partial}{\partial x}g(x)$
• Produktregel:
  $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$
• Quotientenregel:$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
• Kettenregel:$f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Regeln - 2

Extrama und Wendepunkte

Integral

Idee: Flächen- oder Volumenbrechnung. Notation: $$\int_a^bf(x)\text{d}x$$ Dabei heißt $a$ die untere Grenze und $b$ die obere Grenze des Interals. Das Interal ohne angegebene Grenzen heißt unbestimmtes Integral.

Integralfunktion

Man nennt $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechung: $$F'(x)=f(x)$$

Ausrechnen von Integralen

Stammfunktion $F(x)$ berechnen ("Rückwärts Ableiten") und einsetzen: $$\int_a^b f(x) \mathrm d x = [F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$

Partielle Integration

Integration durch Substitution

Sei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$. Dann: $$\int_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm d x = F(g(b))-F(g(a))$$

Vektoren - 1

• 2 Vektoren $v_1=(x_1,y_1,y_2)$ und $v_2=(x_2,y_2,z_2)$
• Länge eines Vektors:$|v_1|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
• Skalarprodukt von $v_1$ und $v_2$:
  $v_1 \cdot v_2=x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$
• $\cos(\angle(v_1,v_2))=\frac{v_1 \cdot v_2}{|v_1|\cdot|v_2|}$

Vektoren - 2

• 2 Vektoren $v_1=(x_1,y_1,y_2)$ und $v_2=(x_2,y_2,z_2)$
• Kreuzprodukt von $v_1$ und $v_2$: $$v_1 \times v_2 = \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ z_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot z_2\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2 \end{pmatrix}$$

Zahlentypen - 2

• Bisherige Zahlenmengen: $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$
• Nun: $\mathbb C \subset \mathbb R$, die komplexen Zahlen.
• Grund für die Einführung: Wurzeln aus negativen Zahlen sollen möglich sein.
• Man definiert $i:=\sqrt{-1}$
• Eine Komplexe Zahl hat also die Form:
  $z=a + bi$.

Konjugation und Norm

Die Kunjugation $\bar z$ einer komplexen Zahl $z = a + ib$ ist wie folgt definiert: $$\bar z = a - bi$$ Die Norm $|z|$ einer komplexen Zahl $z$ ist definiert als: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Darstellungen komplexer Zahlen

• In der Darstellung $z=a + bi$ kann mit komplexen Zahlen genau wie mit Variablen gerechnet werden.
• Eine weitere Darstellung kann über die komplexe $e$-Funktion erfolgen:$z = r \cdot e^{i\varphi}$.
• Die Multiplikation ist dann besonders einfach:
  $(r\cdot e^{i\varphi})\cdot(s\cdot e^{i\psi}) = (r\cdot s) \cdot e^{i(\varphi + \psi)}$

Komplexe Zahlen

Für eine komplexe Zahl $z=a + b i=r \cdot e^{i\varphi}$ heißen:

• $a$ der Realanteil und $b$ der Imaginäranteil.
• $r$ der Betrag und $\varphi$ das Argument.

Umrechung von $a,b$ zu $\varphi,r$

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$\varphi=arg(z)= \begin{cases} \arccos \frac{a}{r}\text{ für }b \geq 0\\ -\arccos \frac{a}{r}\text{ sonst} \end{cases}$$

Umrechung von $\varphi,r$ zu $a,b$

$$a=\mathrm{Re}(z)=r\cdot\cos \varphi$$ $$b=\mathrm{Im}(z)=r\cdot\sin \varphi$$