Der Logarithmus ist wie folgt definiert:
$\log_b(a)=c \Leftrightarrow b^c=a$ wobei $a > 0$
Logarithmen zu einigen Basen (der Zahl b) sind häufiger anzutreffen. Sie werden wie folgt
bezeichnet:
Zur Basis $2$: ld
Zur Basis der eulerschen Zahl $e$: $\ln$
Zur Basis 10: $\lg$
Rechenregeln
$\log_b(b) = 1$
$\log_b(a\cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c)$
$\log_b(a\div c) = \log_b(a) - \log_b(c)$
$\log_b(a^c) = c\cdot \log_b(a)$
$\log_b(a)=\frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$
Polynom-Division
Quelle: Wikipedia
Gleichungen und Funktionen auf reellen Zahlen ($\mathbb R$)
Gleichungen
Gleichungen mit $n$ Unbekannten können in der folgenden Form dargestellt werden:
$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$
mit einer Funktion $f(a,b,c,d,\ldots)$. Wobei $x_1,x_2,\ldots,x_n$ die Unbekannten genannt werden.
Die Lösungsmenge besteht aus allen Vektoren $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$,
die diese Gleichungen erfüllen.
Gradengleichungen
Die allgemeine Gradengleichung lautet:
$$y=f(x)=m\cdot x+b,$$ wobei $m$ die Steigung bestimmt, und $b$ die Verschiebung der Grade.
Reelle Funktionen
Eine reelle Funktion wird wie folgt beschrieben:
$f:X\rightarrow Y, x \mapsto y, x \in X, y \in Y, X\subseteq \mathbb R, Y \subseteq \mathbb R$
Polstelle an der Stelle $x_0$: Der Wert der Funktion geht gegen unendlich wenn $x$ gegen $x_0$ geht
Asymptote: Funktionswert geht gegen eine Grade für $x$ gegen $x_a$ wobei $x_a \in \mathbb R \cup \pm \infty$
Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion hat die folgende Gestalt:
$$\exp(x)=e^x$$
Hierbei heißt $x$ der Exponent. Für $e^x$ gelten die Rechenregeln für Potenzen.
Trigonomische Funktionen im rechtwinkeligen Dreieck; Quelle: Wikipedia
Additionstheoreme
$\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$
$\sin(x\pm y) = \sin x \cdot \cos y \pm \cos x \cdot \sin y$
$\cos(x\pm y) = \cos x \cdot \cos y \pm \sin x \cdot \sin y$
$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
$\sin(2\cdot x) = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x$
$\cos(2\cdot x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
Differenzieren und Integrieren ($\mathbb R$)
Differenzieren(Ableiten)
Idee: finde in jedem Punkt einer Funktion die Steigung. Übliche Notationen:
$$f'(x)=\frac{\partial}{\partial x}f(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f(x)=f_x(x)=\dot f(x)$$
\begin{align}
&f'(x_0)=0\text{ und } f''(x_0) < 0\\
&\Rightarrow f\text{ hat ein lokales Maximum in }x_0\\
&f'(x_0)=0\text{ und } f''(x_0) > 0\\
&\Rightarrow f\text{ hat ein lokales Minimum in }x_0\\
&f''(x_0)=0\text{ und } f'''(x_0) \neq 0\\
&\Rightarrow f\text{ hat ein Wendepunkt in }x_0
\end{align}
Integral
Idee: Flächen- oder Volumenbrechnung. Notation:
$$\int_a^bf(x)\text{d}x$$
Dabei heißt $a$ die untere Grenze und $b$ die
obere Grenze des Interals.
Das Interal ohne angegebene Grenzen heißt unbestimmtes Integral.
Integralfunktion
$$F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm d t$$
Man nennt $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechung:
$$F'(x)=f(x)$$
Ausrechnen von Integralen
Stammfunktion $F(x)$ berechnen ("Rückwärts Ableiten") und einsetzen:
$$\int_a^b f(x) \mathrm d x = [F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$
Stammfunktionen
$f(x)$
$F(x)$
$0$
$0$
$x^n$
$\frac{1}{n+1}x^{n+1}$
$e^x$
$e^x$
$\sin x$
$-\cos x$
$\cos x$
$\sin x$
Partielle Integration
$$\int_a^b f'(x)\cdot g(x)\mathrm d x = [f(x) \cdot g(x)]_a^b-\int_a^b f(x)\cdot g'(x) \mathrm d x$$
Integration durch Substitution
Sei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$. Dann:
$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm d x = F(g(b))-F(g(a))$$
Vektorrechung im $\mathbb R^n$
Vektoren - 1
2 Vektoren $v_1=(x_1,y_1,y_2)$ und $v_2=(x_2,y_2,z_2)$
Länge eines Vektors:$|v_1|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
Skalarprodukt von $v_1$ und $v_2$:
$v_1 \cdot v_2=x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$
Bisherige Zahlenmengen: $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$
Nun: $\mathbb C \subset \mathbb R$, die komplexen Zahlen.
Grund für die Einführung: Wurzeln aus negativen Zahlen sollen möglich sein.
Man definiert $i:=\sqrt{-1}$
Eine Komplexe Zahl hat also die Form: $z=a + bi$.
Konjugation und Norm
Die Kunjugation $\bar z$ einer komplexen Zahl $z = a + ib$ ist wie folgt definiert:
$$\bar z = a - bi$$
Die Norm $|z|$ einer komplexen Zahl $z$ ist definiert als:
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Darstellungen komplexer Zahlen
In der Darstellung $z=a + bi$ kann mit komplexen Zahlen genau wie mit Variablen gerechnet werden.
Eine weitere Darstellung kann über die komplexe $e$-Funktion erfolgen:$z = r \cdot e^{i\varphi}$.
Die Multiplikation ist dann besonders einfach: $(r\cdot e^{i\varphi})\cdot(s\cdot e^{i\psi}) =
(r\cdot s) \cdot e^{i(\varphi + \psi)}$
Komplexe Zahlen
Für eine komplexe Zahl $z=a + b i=r \cdot e^{i\varphi}$ heißen:
