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Auffinden Àhnlicher FlÀchen durch den Laplace-Beltrami-Operator

Richard Guercke, Leibniz Universität Hannover, bachelor thesis
01/2006

Die beiden obigen Bilder zeigen Zwischenstufen der Verformung des 3d-Modells eines Schraubenziehers und die Entwicklung der zugehörigen Spektra (projiziert in den dreidimensionalen Raum).

Das Problem, eine leicht verformte und eventuell auf verschiedene Weise dargestellte (Bezier-, B-Spline-Darstellung, trianguliert,...) oder umparametrisierte FlÀche in einer Sammlung von FlÀchen wiederzufinden, hat insbesondere im Zusammenhang mit Patentrechtsverletzungen oder bei der Identifikation von Objekten eine wichtige Bedeutung. Aufgrund der Vielzahl der möglichen Darstellungsformen und Parametrisierungen ist dieses Problem ohne aufwendige Vorbereitungsschritte nur schwer lösbar.

Die Berechnung der Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators bildet eine FlÀche auf eine Menge von Zahlen ab, wobei hier nur die ersten (kleinsten) k - typischerweise 50 bis 500 - Eigenwerte benutzt werden.
Diese Zahlen lassen sich als die Frequenzen der Eigenschwingungen des betreffenden Objektes interpretieren. Dieser (materialunabhĂ€ngige) "Ton" bei der Anregung eines Objektes zu einer Eigenschwingung dient als "Fingerabdruck" fĂŒr die FlĂ€che, anhand dessen FlĂ€chen auf Ähnlichkeit geprĂŒft und in Sammlungen eingeordnet werden können.

Theoretische Überlegungen und praktische Versuche zeigen, dass der Abstand zwischen den k-dimensionalen Punkten, die durch die (aufsteigend sortierten) ersten k Eigenwerte beschrieben werden, ein sinnvolles Maß fĂŒr die Ähnlichkeit der zugehörigen FlĂ€chen ist. So lĂ€sst sich die Suche nach Ă€hnlichen FlĂ€chen in einer Sammlung auf die Suche nach nĂ€chsten Nachbarn von Punkten im k-dimensionalen Raum zurĂŒckfĂŒhren.

In dieser Arbeit wurden einerseits weitere Untersuchungen zur Entwicklung der Laplace-Spektra bei der Verformung von Objekten angestellt und andererseits verschiedene Versuche zum Informationsverlust bei der Anwendung der Principal Component Analysis (Projektion der hochdimensionalen Punkte auf die Achsen ihrer grĂ¶ĂŸten Varianz) auf Mengen von Spektra zur Verringerung der DimensionalitĂ€t durchgefĂŒhrt.

Contact: Martin Reuter

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