Untersuchungen und Berechnungen zur Medialen Achse bei berandeten Flächenstücken
Thomas Rausch, Leibniz Universität Hannover
In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode zur Berechnung der Medialen Achse einer kompakten Teilmenge A ⊂ S einer parametrischen, C2–stetigen Fläche S entwickelt, deren Randkurve ∂A krümmungsstetig ist.
Hierzu wird zunächst die sogenannte Offsetfunktion von Flächenkurven und –punkten, sowie die induzierte Geodätische Offsetkurve untersucht. Es wird gezeigt, daß die Offsetfunktion einer C2–stetigen Flächenkurve eine stetig partiell differenzierbare Funktion ist, falls die betrachtete Fläche mindestens C2–stetig ist. Ferner wird eine Methode entwickelt, die Funktionswerte und die partiellen Ableitungen der Offsetfunktion zu berechnen.
Das Konzept der Geodätischen Offsetfunktion wird anschließend benutzt, um durch Lösen der sogenannten Medialen Differentialgleichung die Mediale Kurve zweier gegebener Objekte zu berechnen. Diese Kurve besteht aus den Flächenpunkten, für die es je eine Geodätische Kurve gleicher Bogenlänge zu den betrachteteten Objekten gibt. Neben der Analyse ihrer geometrischen Eigenschaften wird ein Verfahren angegeben, um Mediale Kurven numerisch zu bestimmen. Schließlich wird gezeigt, wie Mediale Kurven erfolgreich benutzt werden können, um kürzeste Geodätische Kurven zwischen zwei gegebenen Objekten (Flächenkurven oder –punkten) zu berechnen.
Offsetfunktionen können ebenfalls dazu benutzt werden, um die Fokalkurve eines beliebigen Flächenobjekts zu berechnen. Hierbei handelt es sich um den Ort der Fläche, in dem die Tangenten der Offsetkurven des Objekts verschwinden; die Fokalkurve wird in der Literatur konjungierter Ort genannt, falls das Ausgangsobjekt ein Flächenpunkt ist. Diese Vorgehensweise führt zu der Behandlung der in dieser Arbeit eingeführten Fokalen Differentialgleichung. Es wird gezeigt, wie diese Differentialgleichung zur Approximation von Fokalkurven genutzt werden kann.
Zum Abschluß der Arbeit wird die Mediale Achse eines kompakten Teilgebiets A ⊂ S mit zweimal stetig differenzierbarer Randkurve untersucht. Neben einer lokalen Charakterisierung ihrer Elemente wird zur globalen Struktur gezeigt, daß die Mediale Achse ein starker Deformationsretrakt von A ist. Zentral für die Entwicklung eines Berechnungsschemas ist die hier bewiesene Beobachtung, daß die Mediale Achse eines einfach zusammenhängenden Gebiets ein topologischer Graph ist. Die Kanten des Graphen können durch Lösen der Medialen Differentialgleichung bestimmt werden; seine Ecken können nach der Anzahl ihrer distanzminimalen Verbindungen zu ∂A klassifiziert werden. Ausgehend von diesen Ergebnissen wird schließlich ein neuer Algorithmus zur Berechnung der Medialen Achse angegeben.
